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極配置

閉ループの極の位置は、立ち上がり時間、整定時間、遷移部の振動等の時間応答特性に直接影響します。閉ループの挙動をチューニングする方法を議論しましょう。

この設計手法は、極配置といわれます。

極配置は、システムの情態空間モデルを必要とします(関数ssを使って、他のLTIモデルから状態空間モデルに変換)。連続時間では、このようなモデルは、つぎのように表わせます。

ここで、は制御入力ベクトル、は測定ベクトルです。このシステムのダイナミックス補償器を設計することは、2つのステップ、状態フィードバックゲインの選択、状態エスティメータの設計、を含んでいます。

状態フィードバックゲインの選択

状態フィードバックのもとで、閉ループのダイナミックスは、つぎの方程式で表わせます。

そして、閉ループの極は、の固有値です。極配置アルゴリズムを使って、複素平面内で希望する位置に極を配置できるゲイン行列を計算することができます( (A,B) は可制御である)。

状態エスティメータの設計

全状態が測定されない限り、状態フィードバック則を実現することはできません。しかし、状態フィードバック則 は、同じ極が割り当てた性質を維持するように、状態推定を作成することができます。このことは、状態エスティメータを設計するつぎの型で実現できます。

エスティメータの極は、の固有値で、エスティメータのゲイン行列の適切な選択で、任意に割り当てることができます。大雑把に言って、エスティメータのダイナミックスは、コントローラのダイナミックス(の固有値)より高速です。

を の推定値との置き換えは、ダイナミック出力フィードバック補償器

になります。ここで、結果の閉ループのダイナミックスは、

となることに注意してください。そのため、との固有値を独立に置き換えることで、すべての閉ループ極を割り当てることができます。

極配置ツール

Control System Toolboxは、つぎの機能をもつ関数を用意しています。

関数ackerは、SISOシステムのみに使用が限定され、かつ、状態数が少ない場合にのみ使用可能です。関数placeは、関数ackerより一般的で、数値的にもロバストです。


 根軌跡 線形二次ガウシアン(LQG)設計