MATLAB Function Reference

minres

最小残差法

表示

x = minres(A,b)
minres(A,b,tol)
minres(A,b,tol,maxit)
minres(A,b,tol.maxit,M)
minres(A,b,tol,maxit,M1,M2)
minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
minres(afun,b,tol,maxit,mifun,m2fun,x0,p1,p2,...)
[x,flag] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg] = minres(A,b,...)

詳細

x = minres(A,b) は、線形方程式 A*x=b のシステムに関する最小ノルム残差解 x を求めようとします。n 行 n 列の係数行列 A は、対称でなければなりませんが、正定である必要はありません。列ベクトル b は、長さ n です。A は、afun(x) が、A*x を出力するような関数 afun です。

minres が収束する場合、その影響を示すメッセージが表示されます。minres が、設定した最大繰り返し回数に達しても、または、何らかの理由で、収束に失敗した場合、ワーニングメッセージが表示され、相対残差 norm(b-A*x)/norm(b) と この手法が停止した繰り返し回数を表示します。

minres(A,b,tol) は、この方法のトレランスを指定します。tol が[] の場合、minres は、デフォルト 1e-6 を使用します。

minres(A,b,tol,maxit) は、繰り返し最大回数を設定します。maxit が、 [] の場合、minres はデフォルト min(n,20) を使います。

minres(A,b,tol,maxit,M) and minres(A,b,tol,maxit,M1,M2) は、対称正定前置条件 M、または、M = M1*M2 を使って、システム inv(sqrt(M))*A*inv(sqrt(M))*y = inv(sqrt(M))*b を、y について効率良く解き、x = inv(sqrt(M))*y を戻します。M が、[] の場合、minres は、前置条件を適用しません。M は、M\x を戻す関数です。

minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) は、初期推定を指定します。x0 が [] の場合、 minres は、デフォルト、すべてゼロのベクトルを使います。

minres(afun,b,tol,maxit,m1fun,m2fun,x0,p1,p2,...) は、パラメータ p1,p2,... を関数 afun(x,p1,p2,...), m1fun(x,p1,p2,...), m2fun(x,p1,p2,...) に渡します。

[x,flag] = minres(A,b,...) は、収束に関するフラグも出力します。

フラグ	収束
0	minres は、希望するトレランス tol に、繰り返し回数 maxit で収束します。
1	minres は、繰り返し回数が、maxit に達したけれど、収束しませんでした。
2	前置条件 M の条件数が良くありません。
3	minres からの出力の変化がありません(2回の連続する計算で、両者に違いが生じません)。
4	minres の中で計算されるスカラ量の一つが、計算を続けるために、多き過ぎるか、または、小さ過ぎます。

flag が、0 でない場合は、常に、出力される解 x は、すべての繰り返しで計算された最小ノルム残差をもっています。flag 出力が、指定された場合、メッセージは表示されません。

[x,flag,relres] = minres(A,b,...) は、相対残差 norm(b-A*x)/norm(b) も出力します。flag が、0 の場合、relres <= tol になります。

[x,flag,relres,iter] = minres(A,b,...) は、x が計算された繰り返し回数も出力します。ここで、0 <= iter <= maxit です。

[x,flag,relres,iter,resvec] = minres(A,b,...) は、各繰り返しで、norm(b-A*x0) を含む minres 残差ノルムの推定ベクトルも出力します。

[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg] = minres(A,b,...) は、各繰り返しで、共役勾配残差ノルムの推定ベクトルも出力します。

例題

例題 1.

n = 100; on = ones(n,1); 
A = spdiags([-2*on 4*on -2*on],-1:1,n,n);
b = sum(A,2); 
tol = 1e-10; 
maxit = 50; 
M1 = spdiags(4*on,0,n,n);

x = minres(A,b,tol,maxit,M1,[],[]);
minres converged at iteration 49 to a solution with relative 
residual 4.7e-014

一方、つぎの行列-ベクトル積に関する関数を使います。

function y = afun(x,n)
y = 4 * x;
y(2:n) = y(2:n) - 2 * x(1:n-1);
y(1:n-1) = y(1:n-1) - 2 * x(2:n);

minres への入力は、同じ方法を使います。

x1 = minres(@afun,b,tol,maxit,M1,[],n);

例題 2.

pcg と共に、失敗した対称不定行列を使います。

A = diag([20:-1:1, -1:-1:-20]);
b = sum(A,2);      % 真の解は、すべての要素が1のベクトル
x = pcg(A,b);      % 最初の計算で、エラーを検出
pcg stopped at iteration 1 without converging to the desired
tolerance 1e-006 because a scalar quantity became too small or too
large to continue computing. 
The iterate returned (number 0) has relative residual 1

しかし、minres は、不定行列 A を取り扱うこともできます。

x = minres(A,b,1e-6,40);
minres converged at iteration 39 to a solution with relative 
residual 1.3e-007

参考

bicg, bicgstab, cgs, cholinc, gmres, lsqr, pcg, qmr, symmlq

@ (関数ハンドル), / (スラッシュ),

参考文献

Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.

Paige, C. C. and M. A., "Solution of Sparse Indefinite Systems of Linear Equations." SIAM J. Numer. Anal., Vol.12, 1975, pp. 617-629.

min

mislocked