buttord (Signal Processing Toolbox)

Butterworthフィルタの次数選択とカットオフ周波数の計算

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[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')

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buttordは、フィルタ設計仕様を満たすディジタルまたはアナログ Butterworth フィルタの最小次数を計算します。

ディジタル領域

[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) は、通過帯域で Rp dB dB 以下の減衰、遮断帯域で Rs dB dB 以上の減衰をもつディジタルButterworth フィルタの最小次数nを出力します。また、対応するカットオフ周波数ベクトル Wn も出力します。これらの出力引数 nとWnは、関数butterの入力になります。

つぎのテーブルに従って、遮断帯域、通過帯域を設定する入力引数を選択してください。

表 7-1: 遮断帯域と通過帯域を設定するフィルタパラメータの記述
Wp
通過帯域コーナ周波数Wp、すなわち、カットオフ周波数は、0と1の間の値をもつスカラまたは2要素からなるベクトルです。1はNyquist周波数で、ラジアン/サンプルです。

Ws
遮断帯域コーナ周波数Ws、は、0と1の間の値をもつスカラまたは2要素からなるベクトルです。1はNyquist周波数で、π ラジアン/サンプルです。

Rp
通過帯域で許容される減衰量の最大量で、 dB 単位で表します。

Rs
遮断帯域で必要となる減衰量の最小量で、 dB 単位で表します。

**表 7-1: 遮断帯域と通過帯域を設定するフィルタパラメータの記述**
`Wp`	通過帯域コーナ周波数`Wp`、すなわち、カットオフ周波数は、0と1の間の値をもつスカラまたは2要素からなるベクトルです。1はNyquist周波数で、ラジアン/サンプルです。
`Ws`	遮断帯域コーナ周波数`Ws`、は、0と1の間の値をもつスカラまたは2要素からなるベクトルです。1はNyquist周波数で、π ラジアン/サンプルです。
`Rp`	通過帯域で許容される減衰量の最大量で、 dB 単位で表します。
`Rs`	遮断帯域で必要となる減衰量の最小量で、 dB 単位で表します。

つぎの表を参考にして、種々のタイプのフィルタを設定してください。

表 7-2: フィルタのタイプによる遮断帯域と通過帯域の設定法
フィルタのタイプ
遮断帯域と通過帯域の条件
遮断帯域
通過帯域

ローパス
Wp < Ws, 共にスカラ
(Ws,1)
(0,Wp)

ハイパス
Wp > Ws, 共にスカラ
(0,Ws)
(Wp,1)

バンドパス
Wsで指定された区間は、Wp (Ws(1) < Wp(1) < Wp(2) < Ws(2))で指定されたものを含んでいます。
(0,Ws(1)) and (Ws(2),1)
(Wp(1),Wp(2))

バンドストップ
Wpで指定された区間は、Ws (Wp(1) < Ws(1) < Ws(2) < Wp(2))で指定されたものを含んでいます。
(0,Wp(1)) and (Wp(2),1)
(Ws(1),Ws(2))

**表 7-2: フィルタのタイプによる遮断帯域と通過帯域の設定法**
フィルタのタイプ	遮断帯域と通過帯域の条件	遮断帯域	通過帯域
ローパス	`Wp` < `Ws`, 共にスカラ	`(Ws,1)`	`(0,Wp)`
ハイパス	`Wp` > `Ws`, 共にスカラ	`(0,Ws)`	`(Wp,1)`
バンドパス	`Ws`で指定された区間は、`Wp` (`Ws(1) < Wp(1) < Wp(2) < Ws(2)`)で指定されたものを含んでいます。	`(0,Ws(1))` and `(Ws(2),1)`	`(Wp(1),Wp(2))`
バンドストップ	`Wp`で指定された区間は、`Ws` (`Wp(1) < Ws(1) < Ws(2) < Wp(2)`)で指定されたものを含んでいます。	`(0,Wp(1))` and `(Wp(2),1)`	`(Ws(1),Ws(2))`

ユーザのフィルタ仕様に通過帯域でのリップルの許容変化量と遮断帯域でのリップルの許容変化量がお互いに等しくない場合、表の中の設定に従ってローパスフィルタとハイパスフィルタを別々に設計し、2つのフィルタをカスケードに結合します。

アナログ領域

[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') は、アナログ Butterworth フィルタの最小次数 n とカットオフ周波数 Wn を出力します。表 7-1 と同様に、周波数 Wp(通過帯域のフィルタパラメータ)と Ws(遮断帯域のフィルタパラメータ)を設定します。この場合、ラジアン/秒で設定する場合にのみ、通過帯域または遮断帯域は無限大に設定することができます。

関数buttordを使って、表 7-2 "フィルタのタイプによる遮断帯域と通過帯域の設定法"に記述しているローパス、ハイパス、バンドパス、バンドストップフィルタの仕様を満たす引数を作成します。

例題

データサンプル周波数 1000 Hzで、0から40 Hzでリップルの最大変量を3 dB 以内の通過帯域とし、150 Hz からNyquist 周波数(500 Hz)で、最低でも60 dB 減衰するローパスフィルタを設計しましょう。

Wp = 40/500; Ws = 150/500;
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,3,60)
n =
     5
Wn =
    0.0810
[b,a] = butter(n,Wn);
freqz(b,a,512,1000); title('n=5 Butterworth Lowpass Filter')

つぎに、60 Hz から 200 Hz でリップルの最大変量を3 dB 以内の通過帯域とし、両側 50 Hz の遷移部をもち、遮断帯域では、40 dB 以上の減衰をもつバンドパスフィルタを設計しましょう。

Wp = [60 200]/500; Ws = [50 250]/500;
Rp = 3; Rs = 40;
[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)
n =
    16
Wn =
    0.1198    0.4005
[b,a] = butter(n,Wn);
freqz(b,a,128,1000)
title('n=16 Butterworth Bandpass Filter')

アルゴリズム

buttordの次数予測公式は、参考文献[1]に記述されています。これは、アナログとディジタルのいずれの場合もアナログ領域で処理を行います。ディジタルの場合には、周波数パラメータをs領域に変換して、次数と固有周波数を推定し、その後でz領域に逆変換します。

buttordは、まず、希望するフィルタの通過帯域周波数を1ラジアン/秒(ローパスフィルタおよびハイパスフィルタの場合)、または、-1および1ラジアン/秒(バンドパスフィルタおよびバンドストップフィルタの場合)に変換することにより、ローパスフィルタのプロトタイプを作成します。そして、遮断帯域仕様を満たすローパスフィルタに必要な最小次数を計算します。

参考

butter
Butterworthアナログおよびディジタルフィルタの設計

cheb1ord
Chebyshev I型フィルタの次数選択

cheb2ord
Chebyshev II型フィルタの次数選択

ellipord
楕円フィルタの次数選択

kaiserord
KaiserウインドウをもつFIRフィルタ設計に対してのパラメータを推定

`butter`	Butterworthアナログおよびディジタルフィルタの設計
`cheb1ord`	Chebyshev I型フィルタの次数選択
`cheb2ord`	Chebyshev II型フィルタの次数選択
`ellipord`	楕円フィルタの次数選択
`kaiserord`	KaiserウインドウをもつFIRフィルタ設計に対してのパラメータを推定

参考文献

[1] Rabiner, L.R., and B. Gold. Theory and Application of Digital Signal Processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975. Pg. 227.

butter cceps