MATLAB Function Reference

besseli, besselk

修正 Bessel 関数

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I = besseli(nu,Z)     1 種の修正 Bessel 関数
K = besselk(nu,Z)     3 種の修正 Bessel 関数
I = besseli(nu,Z,1)
K = besselk(nu,Z,1)
[I,ierr] = besseli(...)
[K,ierr] = besselk(...)

定義

つぎの微分方程式は、修正 Bessel 方程式と言われ、その解は修正 Bessel 関数として知られています。

ここで、 は、非負の定数です。

と は、整数でない に対する修正 Bessel 方程式の基本解で、は、に独立です。

と は、つぎのように定義されます。

詳細

I = besseli(nu,Z) は、配列 Z の各要素に対して、第 1 種の修正 Bessel 関数 を計算します。次数 nu は、整数である必要はありませんが、実数でなければなりません。引数 Z は、複素数でも可能です。結果は、Z が正の部分で実数です。

nu と Z が同じ大きさの配列の場合、結果の配列も同じ大きさになります。いずれかの入力がスカラの場合、もう一方の入力の次数と同じ大きさに拡張されます。一つの入力が行ベクトルで、他の入力が列ベクトルの場合、結果は、関数値からなる 2 次元のテーブルになります。

K = besselk(nu,Z) は、複素数配列 Z の各要素に対して、第 2 種の修正 Bessel 関数 を計算します。

I = besseli(nu,Z,1) は、besseli(nu,Z).*exp(-abs(real(Z)))を計算します。

K = besselk(nu,Z,1) は、besselk(nu,Z).*exp(Z)を計算します。

[I,ierr] = besseli(...) と [K,ierr] = besselk(...) は、エラーフラグ配列も出力します。

ierr = 1	引数が間違っています。
ierr = 2	オーバフローで Infを出力します。
ierr = 3	引数がeps/2とepsの範囲にあることにより精度が低下します。
ierr = 4	引数がeps/2より小さいことにより精度が低下します。
ierr = 5	収束しません。NaNを出力します。

例題

format long
z = (0:0.2:1)';

besseli(1,z)

ans =
                  0
   0.10050083402813
   0.20402675573357
   0.31370402560492
   0.43286480262064
   0.56515910399249

besselk(1,z)

ans =
                Inf
   4.77597254322047
   2.18435442473269
   1.30283493976350
   0.86178163447218
   0.60190723019723

besseli(3:9,(0:.2,10)',1)は、Abramowitz and StegunによるHandbook of Mathematical Functionsの423ページの表を出力します。

アルゴリズム

関数 besseli と besselk は、D.E.Amos により作成されたライブラリを使うFortran の Mex-ファイルを使っています(参考文献[3],[4]を参照)。

参考

airy, besselj, bessely

参考文献

[1] Abramowitz, M. and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55, Dover Publications, 1965, sections 9.1.1, 9.1.89 and 9.12, formulas 9.1.10 and 9.2.5.

[2] Carrier, Krook, and Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, Hod Books, 1983, section 5.5.

[3] Amos, D. E., "A Subroutine Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order," Sandia National Laboratory Report, SAND85-1018, May, 1985.

[4] Amos, D. E., "A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order," Trans. Math. Software, 1986.

besselh

besselj, bessely