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besselj, bessely

Bessel関数

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定義

微分方程式
は、Bessel方程式と言われ、この解がBessel関数として知られています。ここで、 は、非負の定数です。

と は、の整数でないものに対するBessel方程式の基本解を形作ります。は、
により定義されます。

は、に線形独立で、つぎのように定義されるBessel方程式の2番目の解です。

詳細

J = besselj(nu,Z) は、複素数配列Zの各々の要素に対して、第一種のBessel関数 を計算します。次数nu は、整数である必要はありませんが、実数でなければなりません。引数Zは、複素数でも構いません。求まる結果は、Zが、正のところで実数になります。

nu と Z が、同じ大きさの配列の場合、結果も同じ大きさになります。入力のどちらかがスカラの場合、要素がすべてその値を示し、大きさが他の引数と同じ大きさの配列として取り扱います。一つの入力が行ベクトルで、他の引数が列ベクトルの場合、結果は2次元の関数値テーブルになります。

Y = bessely(nu,Z) は、実数で、非負の次数nuと引数Zをもつ第二種Bessel関数を計算します。

J = besselj(nu,Z,1) は、besselj(nu,Z).*exp(-imag(Z))を計算します。

Y = bessely(nu,Z,1) は、bessely(nu,Z).*exp(-imag(Z))を計算します。

[J,ierr] = besselj(nu,Z) と [Y,ierr] = bessely(nu,Z) は、エラーフラグの配列も出力します。

ierr = 1

引数が間違っています。
ierr = 2

オーバフローで、Infを出力します。
ierr = 3

引数が、eps/2とepsの範囲にあることにより、精度が低下します。
ierr = 4

引数が、eps/2より小さいことにより、精度が低下します。
ierr = 5

収束しません。NaNを出力します。

注意

Bessel関数は、第三種Bessel関数であるHankel関数と密接な関係があります。

ここで、は、besseljで、 は、besselyです。Hankel関数もBessel方程式の基本解を形作ります(besselhを参照)。

例題

besselj(3:9,(0:.2,10)') は、Abramowitz and Stegun著のHandbook of Mathematical Functionsの398ページに記載されいる表を作成します。

bessely(3:9,(0:.2,10)') は、Abramowitz and Stegun著の Handbook of Mathematical Functionsの399ページに記載されている表を作成します。

アルゴリズム

関数besselj と besselyは、D. E. Amos [3] [4]により作成されたライブラリを使うFortran MEX-ファイルを使います。

参考

airy, besseli, besselk

参考文献

[1] Abramowitz, M. and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55, Dover Publications, 1965, sections 9.1.1, 9.1.89 and 9.12, formulas 9.1.10 and 9.2.5.

[2] Carrier, Krook, and Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, Hod Books, 1983, section 5.5.

[3] Amos, D. E., "A Subroutine Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order," Sandia National Laboratory Report, SAND85-1018, May, 1985.

[4] Amos, D. E., "A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order," Trans. Math. Software, 1986.


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