Mathematics

関数のゼロの探索

関数fzeroは、1変数の関数のゼロを探索します。この関数は、最初の間隔を設定する2要素ベクトル、または、1要素のスタート点のどちらかと共に読み込まれます。初期値x₀としてfzeroを設定すると、関数は符号の変わる部分を挟む区間を探します。この区間が見つからなければ、fzeroはNaNを出力します。また、関数の符号が変化する2点が既知ならば、2要素ベクトルを使ってこの初期の区間を設定することができます。そして、fzero は、区間を狭くしようとし、符号の変化する近傍の値を出力します。

-0.2の近傍で、humps関数のゼロ点を探すため、fzeroを使います。

a = fzero(@humps,-0.2)

a =
-0.1316

この初期値に対して、fzeroは-0.10949と-0.264の間で符号が変更するまで、-0.2の近傍を探索します。この区間は、-0.1316まで狭められます。-0.1316で関数は非常にゼロに近付くなることを確認しましょう。

humps(a)

ans =
   8.8818e -16

humpsの関数値が、x = 1 や x = -1 のように、符号の変わる2つの位置を知っていると仮定します。

humps(1)

ans =
    16

humps(-1)

ans =
   -5.1378

そして、この区間からfzeroを始め、関数の符号が変化する点の近傍を出力しましょう。fzeroの処理過程を表示しましょう。

options = optimset('Display','iter');
a = fzero(@humps,[-1 1],options)

 Func-count      x            f(x)          Procedure

    1              -1      -5.13779        initial
    1               1            16        initial
    2       -0.513876      -4.02235        interpolation
    3        0.243062       71.6382        bisection
    4       -0.473635      -3.83767        interpolation
    5       -0.115287      0.414441        bisection
    6       -0.150214     -0.423446        interpolation
    7       -0.132562    -0.0226907        interpolation
    8       -0.131666    -0.0011492        interpolation
    9       -0.131618   1.88371e-07        interpolation
   10       -0.131618   -2.7935e-11        interpolation
   11       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
   12       -0.131618  -9.76996e-15        interpolation

a =
   -0.1316

アルゴリズムの進行に伴いProcedureの列にbisectionとinterpolationのどちらも使われています。例題が最初の区間の代わりに1つのスカラの初期値を使って処理を始めようとすると、fzeroは符号の変化する区間を含んで探索を行なう一方、初期関数値を算出した後、最初のステップはいくつかの探索ステップを含んでいます

optimsetを使って、3番目の入力引数として、相対誤差の許容範囲を設定することができます。前に読み込んでいるように、空行列では、デフォルトの相対誤差許容範囲のepsを使います。

最小化オプションの設定

実際の問題