Mathematics

1次元内挿

MATLABでは、2種類の1次元内挿法を用意しています。

• 多項式内挿
• FFTベースの内挿

多項式内挿

関数interp1は、データ解析やカーブフィッテングに重要な演算である1次元内挿を行ないます。この関数は、与えられたデータに対して、データ間を多項式で近似し、希望する内挿点で適切な関数を推定します。この最も一般的な型は

yi = interp1(x,y,xi,method)

yは、ある関数値を含むベクトルで、 xは、yの値が与えられる点を含むyと同じ長さのベクトルです。 xiは、内挿される点を含むベクトルです。methodは、内挿法を設定するオプションの文字列です。

• Nearest neighbor interpolation (method = 'nearest')：この方法は、内挿する点の最も近くにあるデータを使います。
• Linear interpolation (method = 'linear')：この方法は、存在しているデータ点のお互いの組毎に別々の関数をフィットさせ、xiで設定されている点で、その関数値を計算して出力します。これは、interp1関数に対するデフォルトの方法です。
• Cubic spline interpolation (method = 'spline')：この方法は、存在しているデータ点の各組の間を種々のキュービック関数でフィットさせ、関数splineを使って、データ点でキュービックスプライン内挿を行います。
• Cubic interpolation (method = 'pchip' または 'cubic')：これらの方法は、同じものです。関数pchipを使って、ベクトルxとyとを区分的なキュービックエルミート内挿を行います。これらの方法は、単調で、データの型を保ちます。

xiの任意の要素が、xで張られる区間の外に位置する場合、設定した内挿法は、外挿を実行するものとして使われます。また、yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) は、外挿された値をextrapvalで置き換えます。NaN が、extrapvalに対して、しばしば使われます。

すべての方法は、一様分布していないデータに対しても機能します。

スピード、メモリ、スムージング

内挿法を選択すると、他の処理より計算時間とスペースが必要になることは覚えておいてください。また、これらの必要な事柄と結果の求まるスムージング状態との間でトレードオフを行なうことが必要です。

• Nearest neighbor interpolation は、最も高速な方法です。しかし、スムージングと言う意味では、最も悪い結果を出力します。
• Linear interpolation は、nearest neighbor法よりも多くのメモリを使い、実行時間もわずかですが多くなります。Nearest neighbor内挿法と異なり、その結果は連続ですが、頂点で勾配が変わります。
• Cubic spline interpolation は、実行時間を比較的必要とします。しかし、Cubic内挿よりはメモリを必要としません。この手法は、すべての内挿法の中で最も平滑なものを作成します。しかし、入力データが一様でなかったり、ある部分に他の部分よりデータが集中していると、予期せぬ結果を出力する場合があります。
• Cubic interpolation は、nearest neighbor法やlinear法のどちらよりもメモリおよび実行時間を必要とします。しかし、内挿されたデータやその微係数は共に連続です。

各々の方法の相対的な性能は、2次元または多次元の内挿に対してさえも同じ結果になります。内挿法のグラフィカルな比較は、　"内挿法の比較"を参照してください。

FFTベースの内挿

関数interpftは、FFTをベースにした1次元の内挿を行ないます。この方法は、周期的な関数の値を含むベクトルのFourier変換を計算します。それで、より多くの点を使って、逆Fourier変換を計算します。この書式は、

y = interpft(x,n)

です。xは、等間隔にサンプルされた周期的な関数値を含むベクトルです。nは、出力する等間隔な点の数です。

内挿関数のまとめ

2次元内挿