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和、転置、対角

魔方陣行列の特別な性質、すなわち、各要素の種々の和に関していることは、多分知っているでしょう。行または列に沿って、または二つの主対角に沿って和を計算すると、同じ数字(結果)を得るでしょう。MATLABを使って確かめて見ましょう。まず、つぎのステートメントを試します。

sum(A)

MATLABは、つぎの結果を表示します。

ans =
    34    34    34    34

出力引数を設定しないと、MATLABは変数 ans を出力引数として自動的に割り当てます。これは、answer を略したもので、計算結果を保存するものです。これにより、A の各列の和を要素とする行ベクトルを計算すると、列の各々の要素はすべて同じ、すなわち魔方陣 の和は34です。

行に関する和はどうなりますか？MATLABは、行列の列に関しての処理を優 先します。それで、行の和を得る最も簡単な方法は、行列を転置し、転置された列の和を計算し、その結果を再度転置することです。転置演算は、アポストロフまたはシングルコーティション'により定義されています。これは、主対角に対して行列を入れ替え、そして、行ベクトルを列ベクトルにします。それで、

A'

は、つぎの結果を出力します。

ans =
    16     5     9     4
     3    10     6    15
     2    11     7    14
    13     8    12     1

そして、

sum(A')'

は、行方向の和を含んだ列ベクトル

ans =
    34
    34
    34
    34

を出力します。主対角要素の和は、diag 関数を使って、簡単に得られます。まず、対角要素のみを抜出します。

diag(A)

により、つぎの結果を出力します。

ans =
    16
    10
     7
     1

そして、

sum(diag(A))

は、つぎの結果を出力します。

ans =
    34

他の対角部、すなわち逆対角 は、数学的にはあまり重要ではありません。それで、MATLABは、それに対応するような関数を準備していません。しかし、グラフィックスの中で使われる関数 fliplr は、行列の左と右の順番を逆にします。

sum(diag(fliplr(A)))
ans =
    34

これで、Dürerの彫刻の中の行列は、本当に魔方陣であることが確認されました。そして、この過程には、2,3のMATLABの行列演算をサンプルとして示しています。つぎの節では、他のMATLAB機能を示すためにこの行列を使います。

行列の入力

サブスクリプト