gsvd (MATLAB Function 参考文献)

一般化特異値分解

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[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)
sigma = gsvd(A,B)

詳細

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B) は、つぎのようなユニタリ行列UとV、(通常)正方行列X、非負対角行列CとSを出力します。

A = U*C*X'
B = V*S*X'
C'*C + S'*S = I

AとBは、同じ列数が同じで、行数は異なってもかまいません。Aがm行p列で、Bがn行p列ならば、q = min(m+n,p)のとき、Uはm行m列で、Vはn行n列、Xはp行q列です。

sigma = gsvd(A,B) は、一般化特異値sqrt(diag(C'*C)./diag(S'*S))からなるベクトルを出力します。

Sの非ゼロ要素は、常に主対角上にあります。m >= pならば、Cの非ゼロ要素も主対角上にあります。しかし、m < pならば、Cの非ゼロの対角はdiag(C,p-m)です。これによって、一般化特異値が降順であるように対角要素が並べられます。

gsvd(A,B,0) は、3個の入力引数をもち、 m >= pまたは n >= pのとき、結果のUとVが多くてもp列で、CとSが多くてもp行であるような、メモリ消費をおさえた分解を行います。一般化特異値は、diag(C)./diag(S)です。

B が正方で正則の場合、一般化特異値 gsvd(A,B)は、通常特異値svd(A/B)と等しいですが、逆の順番にソートされます。これらの逆数は、gsvd(B,A)です。

このgsvdの式では、A またはB の個々のランクに関する仮定は行われません。行列X は、行列 [A;B]がフルランクである場合のみにフルランクです。実際に、svd(X)とcond(X)は、 svd([A;B])とcond([A;B])と等価です。G. Golub and C. Van Loan [1],のような他の式では、null(A)とnull(B)はオーバラップせず、Xがinv(X)またはinv(X')で置き換えられる必要があります。

しかし、null(A) とnull(B) がオーバラップするとき、 Cと Sの非ゼロ要素は、一意的には決定されません。

例題

最初の例では、行列は少なくとも列数と同じ行数をもちます。

A = reshape(1:15,5,3)
B = magic(3)
A =
         1     6    11
         2     7    12
         3     8    13
         4     9    14
         5    10    15
B =
         8     1     6
         3     5     7
         4     9     2

ステートメント

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)

は、5行5列の直交行列U、3行3列の直交行列V、3行3列の正則行列Xを出力します。

X =
       -2.8284    9.3761   -6.9346
        5.6569    8.3071  -18.3301
       -2.8284    7.2381  -29.7256

と、つぎの行列も出力します。

C =
        0.0000         0         0
             0    0.3155         0
             0         0    0.9807
             0         0         0
             0         0         0
S =
        1.0000         0         0
             0    0.9489         0
             0         0    0.1957

A は、フルランクでないので、Cの最初の対角要素はゼロです。

メモリ消費をおさえた分解

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)

は、5行3列の行列Uと、3行3列の行列Cを出力します。

U =
       -0.3736   -0.6457   -0.4279
       -0.0076   -0.3296   -0.4375
        0.8617   -0.0135   -0.4470
       -0.2063    0.3026   -0.4566
       -0.2743    0.6187   -0.4661
C =
        0.0000         0         0
             0    0.3155         0
             0         0    0.9807

他の3個の行列V, X,Sは、フル分解で得られた行列と同じです。

一般化特異値は、C と Sの対角要素の比です。

sigma = gsvd(A,B)
sigma =
        0.0000
        0.3325
        5.0123

これらの値は、通常の特異値svd(A/B)を並べ替えたものです。

svd(A/B)
ans =
        5.0123
        0.3325
        0.0000

2番目の例では、列数は、少なくとも行数と同じです。

A = reshape(1:15,3,5)
B = magic(5)
A =

           1     4     7    10    13
         2     5     8    11    14
         3     6     9    12    15
B =

        17    24     1     8    15
        23     5     7    14    16
         4     6    13    20    22
        10    12    19    21     3
        11    18    25     2     9

ステートメント

[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)

は、3行3列の直交行列U、5行5列の直交行列V、5行5列の正則行列Xと、つぎの行列を作成します。

C =
             0         0    0.0000         0         0
             0         0         0    0.0439         0
             0         0         0         0    0.7432
S =
        1.0000         0         0         0         0
             0    1.0000         0         0         0
             0         0    1.0000         0         0
             0         0         0    0.9990         0
             0         0         0         0    0.6690

この場合、Cの非ゼロ対角は、diag(C,2)です。一般化特異値は、3個の0を含みます。

sigma = gsvd(A,B)
sigma =
             0
             0
        0.0000
        0.0439
        1.1109

AとBの順番を逆にすると、3つの値は逆数になり、3つのInfを出力します。

gsvd(B,A)
ans =
        0.9001
       22.7610
           Inf
           Inf
           Inf

アルゴリズム

一般化特異値分解は、組み込みの関数svdとqrと、[1]で記述されたC-S分解を使用します。C-S分解は、M-ファイルgsvd内のサブファンクションで実現されています。

診断

gsvdで生成する唯一のワーニングメッセージまたはエラーメッセージは、2つの入力引数が同じ列数でないときに出力されます。

参考文献

[1] Golub, Gene H. and Charles Van Loan, Matrix Computations, Third Edition, Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996

参考

svd

griddatan gtext