Mathematics

はじめに

スパース行列は、大部分がゼロ要素である行列の特別なクラスです。このプロパティは、MATLABでは、

• 行列要素の非ゼロ要素のみをインデックスと共にストアします。
• ゼロ要素への演算を省略して計算時間を軽減します。

この節では、つぎの事柄について説明します。

• スパース行列ストレージ
• スパースストレージ情報
• スパース行列の作成
• スパース行列の読み込み

スパース行列ストレージ

フル行列の場合、MATLABはすべての行列要素を内部にストアします。ゼロの要素の部分も、非ゼロ要素の部分と同じストレージ容量を必要とします。しかし、スパース行列の場合、MATLABは非ゼロ要素とそのインデックスのみをストアします。ゼロ要素が含まれる割合の高い大きな行列では、この方法はデータストレージ容量に対するメモリ総量をかなり少なくします。

MATLABは、実要素をもつスパース行列を内部にストアするため3つの配列をもっています。nnz個の非ゼロ要素をもつm行n列のスパース行列を考えましょう。

• 最初の配列は、配列の非ゼロ要素を浮動小数点フォーマットで含んだものです。この配列の長さは、nnzの非ゼロ要素の数になります。
• 2番目の配列は、非ゼロ要素に対応する整数行インデックスを含んだものです。この配列もnnzの長さと同じです。
• 3番目の配列は、他の配列の中の各列の最初を示す n 個のポインタとそれらの配列の最後を示すポインタを含むものです。3番目の配列の長さは、n+1 です。

この行列は、nnz個の浮動小数点数とnnz+n+1個の整数をストアするストレージを必要とします。浮動小数点数は8バイト、整数は4バイトで、スパース行列をストアするためには、

8*nnz + 4*(nnz+n+1)

のストレージが必要です。複素数要素をもつスパース行列もまた取り扱えます。この場合、MATLABは、非ゼロ要素の虚数部をストアするためnnzの長さの4番目の配列を必要とします。要素は、実数部または虚数部のどちらかが非ゼロであれば、要素としては非ゼロと考えます。

一般的なストレージ情報

whosコマンドを使って、行列のサイズ、クラスを含む行列ストレージに関する高水準の情報を得ることができます。たとえば、つぎの whosリストは、同じ行列をスパースで表したものと、フルで表したものとの情報を示しています。

whos
  Name           Size         Bytes  Class

  M_full      1100x1100     9680000  double array
  M_sparse    1100x1100        4404  sparse array

Grand total is 1210000 elements using 9684404 bytes

使用されるバイト数は、ゼロ要素の部分を含んでいないために、スパースの場合のほうが、かなり少なくなっています。この場合。スパース行列の密度は、4404/9680000で、約 0.00045% です。

関数のまとめ

スパース行列の作成