Mathematics

多項式近似

人口データの近似の最初の試みは、簡単な多項式近似です。この処理には2つのMATLAB関数が用意されています。

関数	詳細
polyfit	多項式近似
polyval	多項式近似値の計算

MATLABの関数polyfitは、与えられたデータセットに対して設定した次数の"最良の近似と言う意味(最小二乗の意味)"の多項式です。次数4の多項式は、

p = polyfit(cdate,pop,4)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
         Results may be inaccurate. RCOND = 5.429790e-20
p =
   1.0e+05 *

    0.0000   -0.0000    0.0000   -0.0126 6.0020

関数polyfitは、非常に大きな値をもつ行列(この計算の中で、Vandermonde行列を作成します。詳細は、polyfitファイルを参照してください)に対して基底としてcdate値を使っているので、ワーニングが表示されます。cdate 値の広がりは、スケーリング問題になります。これを取り扱う1つの方法は、cdate データを正規化する方法です。

前処理：データの正規化

正規化は、連続的な数値計算の精度を改良するデータセットの中の数値をスケーリングする過程です。cdateを正規化する方法は、平均をゼロ、標準偏差を1になるようにスケーリングすることです。

sdate = (cdate - mean(cdate))./std(cdate)

正規化されたデータを使って、4次多項式モデルで計算してみましょう。

p = polyfit(sdate,pop,4)

p =
    0.7047    0.9210   23.4706   73.8598   62.2285

正規化したデータ(年代)で近似多項式値を計算し、観測データ点に対してプロットします。

pop4 = polyval(p,sdate);
plot(cdate,pop4,'-',cdate,pop,'+'), grid on

データを正規化する他の方法は、解に関するある知識と単位を使うことです。例えば、このデータセットを使って、1790年のデータをゼロに設置することでも、満足のいく結果を出力します。

ケーススタディ：カーブフィッテング

残差の解析