Mathematics

ベクトル積と転置

同じ長さの行ベクトルと列ベクトルは、どちらか一方のベクトルを基準に他のベクトルを順番に従って、乗算していきます。結果は、スカラ、すなわち、内積になるか、行列すなわち外積のどちらかになります。

x = v*u

x =
       2

X = u*v

X =
       6     0     -3
       2     0     -1
       8     0     -4

実数行列に対して、転置演算は、a_ijをa_jiに変換することです。MATLABはアポストロヒを使って、転置を定義しています。この例題でAは対称なので、A'はAに等しくなります。しかし、Bは対称ではないので、B'と等しくはありません。

X = B'

X =
       8     3     4
       1     5     9
       6     7     2

転置は、行ベクトルを列ベクトルに置き換えます。

x = v'

x =
       2
       0
      -1

xとyが共に実数列ベクトルならば、積x*yは定義できません。しかし、つぎの積

x'*y

と

y'*x

は、定義でき、同じスカラ値を出力します。これは、非常に頻繁に使われ、3つの異なる名前、内積、スカラ積、ドット積のいずれかの名前で呼ばれます。

複素数ベクトルまたは行列zに対して、z'は複素共役転置を定義します。共役を取らない複素転置は、他の配列演算と同様に、z.'で定義します。それで、

z = [1+2i 3+4i]

の場合、z' は、つぎのようになります。

1-2i
3-4i

一方、z.' は、つぎのようになります。

1+2i
3+4i

複素ベクトルに対して、2つのスカラ積x'*yとy'*xは、お互いの複素共役で、スカラ積x'*xは実数です。

加算と減算

行列の乗算