Mathematics

LU 因子分解

Gauss消去法、または、LU因子分解は、下三角行列の置換行列と上三角行列の積で表されます。

ここで、Lは、対角要素に1をもつ下三角行列を並べ替えたもので、Uは上三角行列です。

並べ替えは、理論的にも、計算上の双方の理由から必要です。行列

は、2つの行を交換しないでは、三角行列の積として表現できません。しかし、行列

は、三角行列の積として表すことができ、因子の中の小さな要素が大きいとき誤差は大きくなり、組み替えが厳密には必要ないとしても、これは望ましいものです。部分的なピポッドは、Lの要素が大きさで1に制限し、Uの要素はAの要素より大きくなりません。

例えば、

[L,U] = lu(B)

L =
    1.0000         0         0
    0.3750    0.5441    1.0000
    0.5000    1.0000         0

U =
    8.0000    1.0000    6.0000
         0    8.5000   -1.0000
         0         0    5.2941

となります。AのLU因子分解は、線形システム

A*x = b

を簡単に、迅速に解くために使います。

x = U\(L\b)

行列式と逆行列は、つぎの関係を使って、LU因子分解から計算されます。

det(A) = det(L)*det(U) =± prod(diag(U))

と

inv(A) = inv(U)*inv(L)

コレスキ因子分解

QR 因子分解