Mathematics

概要

Aが正方で、正則ならば、方程式AX = IとXA = Iは、同じ解Xを持ちます。この解は、Aの逆行列と呼ばれ、A^-1で表し、関数invで計算できます。行列の行列式は理論的な考察やある種の数式計算で利用可能ですが、そのスケーリングや丸め誤差の性質が、数値的な計算に信頼性を低下させます。その条件下で、関数detは、正方行列の行列式を計算します。

A = pascal(3)

A =
       1     1     1
       1     2     3
       1     3     6
d = det(A)
X = inv(A)

d =
       1

X = 
       3    -3     1
      -3     5    -2
       1    -2     1

再度、Aは対称で、整数要素で、行列式が1であるので、逆行列の行列式も1になります。一方、

B = magic(3)

B =
       8     1     6
       3     5     7
       4     9     2
d = det(B)
X = inv(B)

d =
     -360

X =
      0.1472   -0.1444    0.0639
     -0.0611    0.0222    0.1056
     -0.0194    0.1889   -0.1028

Xの要素の細かいチェック、または、有理形式(format rat)を使用すると、これらは360である整数を割ったものになることがわかります。

Aが正方で、正則ならば、丸め誤差を考えないで、X = inv(A)*Bは、理論的にはX = A\Bと等価で、Y = B*inv(A)はY = B/Aと等価です、しかし、バックスラッシュとスラッシュを含む計算が好まれます。これは、計算時間や、メモリが小さく、よりエラーの検出が可能であるためです。

逆行列と行列式

擬似逆行列