Signal Processing Toolbox

周波数変換

アナログプロトタイプ設計手法の第2段階は、ローパスプロトタイプの周波数変換です。ツールボックスは、アナログローパスプロトタイプ(1ラジアン/秒のカットオフ周波数をもつ)を、希望するカットオフ周波数のバンドパスフィルタ、ハイパスフィルタ、バンドストップフィルタ、およびローパスフィルタに変換する関数を用意しています。

周波数変換	変換関数
ローパスからローパス	[numt,dent] = lp2lp(num,den,Wo) [At,Bt,Ct,Dt] = lp2lp(A,B,C,D,Wo)
ローパスからハイパス	[numt,dent] = lp2hp(num,den,Wo) [At,Bt,Ct,Dt] = lp2hp(A,B,C,D,Wo)
ローパスからバンドパス	[numt,dent] = lp2bp(num,den,Wo,Bw) [At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw)
ローパスからバンドストップ	[numt,dent] = lp2bs(num,den,Wo,Bw) [At,Bt,Ct,Dt] = lp2bs(A,B,C,D,Wo,Bw)

表からわかるように、すべての周波数変換関数は2つの線形システムモデル、すなわち伝達関数および状態空間(State space)型を使うことができます。バンドパスおよびバンドストップの場合は、

および

となります。ここで、₁は下側の帯域エッジ、₂ は上側の帯域エッジです。

周波数変換関数は、周波数変数代入を行います。lp2bpおよびlp2bsでは、これは、2次の代入であり、そのため、出力されるフィルタは入力のフィルタの次数の2倍になります。lp2lpおよびlp2hpの場合には、出力されるフィルタは入力と同じ次数になります。

通過帯域リップルに3 dBの値をもつ10次のChebyshev I型帯域フィルタの設計を開始するには、つぎのようにします。

[z,p,k] = cheb1ap(5,3);

z、p、kには、1ラジアン/秒に等しいカットオフ周波数_cをもつローパスアナログフィルタの極、零点、および利得が出力されます。関数lp2bpを用いて、このローパスプロトタイプを帯域エッジW₁ = /5およびW₂ = をもつアナログバンドパスフィルタに変換します。まず、関数lp2bpが、このフィルタを受け取ることができるように状態空間(State space)型に変換します。

[A,B,C,D] = zp2ss(z,p,k); % 状態空間(State space)型への変換

つぎに、帯域幅および中心周波数を求め、lp2bpを使います。

u1 = 0.1*2*pi;  u2 = 0.5*2*pi; % ラジアン/秒単位
Bw = u2-u1;
Wo = sqrt(u1*u2);
[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw);

最後に、周波数応答を計算し、そのゲインをプロットします。

[b,a] = ss2tf(At,Bt,Ct,Dt);% TF型への変換
w = linspace(.01,1,500)*2*pi;% 周波数ベクトルの生成
h = freqs(b,a,w);% 周波数応答の計算
semilogy(w/2/pi,abs(h)), grid% 周波数に対するゲインの対数をプロット

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アナログプロトタイプ設計

フィルタの離散化