Mathematics

指数近似

前のページで人口データのプロットを調べると、人口データ曲線は、見た目で、わずかですが指数的に見えます。この見え方を利用して、正規化された年に対する人口値の対数データでフィットして見ましょう。

logp1 = polyfit(sdate,log10(pop),1);
logpred1 = 10.^polyval(logp1,sdate);
semilogy(cdate,logpred1,'-',cdate,pop,'+');
grid on

つぎに、2次モデルを使って対数解析を行なって見ましょう。

logp2 = polyfit(sdate,log10(pop),2);
logpred2 = 10.^polyval(logp2,sdate);
semilogy(cdate,logpred2,'-',cdate,pop,'+'); grid on

これは、よりフィットしたモデルになります。プロットの中の上限部は先細りになっているように見え、一方、下限部の多項式フィットは、無限まで連続で、凸型になっています。

さて、2次の対数モデルに対する残差を見てみましょう。

Residuals in Log Population Scale	Residuals in Population Scale
logres2 = log10(pop) - polyval(logp2,sdate); plot(cdate,logres2,'+')	r = pop - 10.^(polyval(logp2,sdate)); plot(cdate,r,'+')

残差は、単純な多項式適合よりもランダムです。期待したように、残差は人口が増えるに従って大きくなります。しかし、全体的に、対数モデルは、人口データにより精度良くフィットします。

残差の解析

誤差の範囲